صفحه محصول - مبحث بردارها

قیمت _رایگان 7٬800 تومان
پرداخت و دانلود

توضیحات

بردارها:
تساوي در بردار: موازي، هم جهت و هم طولي دو بردار به تساوي آن دو مي‌انجامد.
مجموع دو بردار : روش متوازي الضلاع
روش مثلثي
خواص بردارها:
شركتپذيري:
بردار صفر: انتها و ابتداي بردار بر هم منطبق است. و با o نشان مي‌دهيم.
براي هر بردار دلخواه داريم
قرينه براي يك بردار: اگر بردار معلومي باشد براي برداري با همان اندازه و جهت مخالف آن قرنيه نام دارد و با مشان داده مي‌شود.
تفاضل دو بردار: تفاضل دو بردار را بصورت زير تعريف مي‌كنيم:

تذكر: اگر بردار و اسكالر معلوم باشند حاصلضرب است. يعني برداري با همان جهت ولي برابر طويلتراز اگر و برداري مختلف الجهت با ولي برابر طويلتر از اگر .
برداريكه: هر برداري به طول واحد را يك برداريكه گوئيم. اگر بردار نا صفر باشد يك بردار يكه است.

زاويه بين دو بردار: منظور از زاويه بين دو بردار ناصفر كه با نشانداده مي‌شود يعني زاويه‌اي كه بايد بچرخد تا جهتش با جهت يكي شود.
°
°
°
ضرب اسكالر( ضرب نقطه‌اي يا داخلي)
منظور از حاصلضرب اسكالر دو بردار كه با نشان‌داده مي‌شود يعني عدد:
زاويه بين دو بردار را مي‌توان از به يا از به سنجيد. زيرا و
تذكر: 1.
2.

3. حاصلضرب صفرا ست اگر تنها اگر همچنين بردار صفر بر هر برداري عمود است.
مثال: مثال : اگر خط جهت دار و بردار معلوم باشد منظور از تصوير اسكالر روي L كه به صورت نوشته مي‌شود.
يعني:
بطور كلي با معلوم بودن دو بردار منظور از تصوير اسكالر روي يعني
‌
قضيه: اگر و آنگاه :
نتيجه:
مثال : اگر بردار آنگاه:
هر برداري در ضرب شود مؤلفه اول بدست مي‌آيد و اگر در ضرب شود مؤلفه بدست مي‌آيد:

تذكر1:

آنگاه
2.

مثال: و را در صورتيكه با هم زاويه ° 60 بسازند. را بيابيد.

ضرب برداري( خارجي)
برداري است كه بر صفحه دو بردار عمود است.
منظور از حاصلضرب خارجي دو بردار كه با نشان داده مي‌شود يعني بردار بطوريكه:
1- اندازة C برابر است با:
2- بر صفحه عمود است و در جهت حركت يك پيچ( راست دست) ك تيغه‌اش از به باندازه مي‌چرخد نشان داده
تذكر: هرگاه يا يا آنگاه
مساحت متوازي‌الضلاع ارتفاع قاعده
با توجه به فرمول قبل و شكل بالا نتيجه مي‌‌گيريم كه مساحت متوازي‌الضلاعي كه توسط بردارهاي و ساخته مي‌شوند با ضرب خارجي برابر است.
و مساحت مثلث ساخته شده توسط دو بردار قبل نصف مقدرا قبلي است .
مساحت مثلث
تذكر: حاصلضرب خارجي با معكوس شدن و ترتيب بردارهاي تغيير علامت مي‌دهد.

مثال هرگاه . بردارهاي متعاعد يك، باشند.

تذكر :1

2

3-ضربهاي برداري شركت‌پذير نيستند.
قضيه: هرگاه :

آنگاه

مثال: مساحت مثلث به راسهاي:
و و را بيابيد.

* ضربهاي سه تايي از بردارها
حاصلضرب سه تايي را در نظ بگيريد واضح است كه:
‌

كه درآن مساوي ارتفاع(h) متوازي سطوح پوشيده بوسيلة بردارهاي است و چون مساحت قاعده متوازي‌الضلاع است پس متوازي‌الضلاع برابر حجم متوازي‌السطوح است.
قضيه:‌هرگاه‌ ‌و ‌،‌ آنگاه

مثال: ثابت كنيد

* صفحه:
يك صفحه بردار ناصفر عمود بر صفحه بطور منحصر بفرد مشخص مي‌شود بردار n قائم بر صفحه ناميده ميشود.
قضيه: هر صفحه معادله‌اي به شكل دارد كه در آن A,B,C همگن صفر نيستند بر عكس هر گاه C,B,A همگي صفر نباشند هر معادله به شكل (1) معادله يك صفحه را مشخص مي‌كند.
معادله صفحه‌اي كه از نقطة ميكند و بردار قائم آن است عبارتست از
مثال: بازاي دو نقطه معلوم:

صفحه مابر عمود بر خط گذرنده از رابيابيد:

صفحه P به معادله عبارت است از:

مثال: معادله صفحه‌اي و موازي دو بردار و و را محاسبه كنيد.
مثال : معادله صفحه گذرنده از نقاط و و عمود بر صفحه باشد را بدست آوريد.

N عمود بر صفحه مورد نظر

* خطوط در
خط ما با يك نقطه معلوم روي L و بردار دلخواه موازي L بطور مختصر به فرد مشخص ميشود فرض كنيد: نقطه دلخواهي در باشد در اينصورت هر گاه باشد يعني كه t يك اسكالر است.

معادلات پارامترهاي خط

معادله متعارف خط L
با معادله خطي كه از نقطه مي‌گذرد و با بردار u موازي است.
تذكر:
اگر يكي از مخرجهاي c,b,a در معادله متعارف صفر باشد صورت نيز بايد صفر باشد مثلاَ اگر ، معادله خط بصورت زير نوشته مي‌شود.

مثال: معادله خط گذرانده از نقطه موازي خط
حل :

مثال:
فصل مشترك دو صفحه
را بدست آوريد:

مثال:
معادله خط گذرنده از دو نقطه: ،
حل :
مثال :
ثابت كنيد خط: و فصل مشترك صفحات و موازي‌اند:
و
حل :
بردار فصل مشترك

* توابع برداري:
در اين فصل با تركيب حساب ديفرانسيل انتگرال و بردارها مطالعه حركت اجسام در فضا مي‌پردازيم براي اين منظور مؤلفه‌هاي عددي بردار شعاعي از مبدأ تا جسم را توزيع مشتق‌پذيري از زمن فرض كنيم و به اين ترتيب بردارهاي جسم را توصيف مي‌كنند بدست ميآوريم:
بردار شعاعي
از مبدآ تا نقطه كه مكان زير را در لحظه t از حركتش در فضا بدست مي‌آوريم.
* مشتق يك تابع برداري:
اگر و و توابعي با مقادير حقيقي باشند از t باشند و بردار

يك تابع با مقادير برداري از t باشد بردار مشتق F نسبت به t مي‌باشد مانند حالت حركت در صفح طول بردار بسرعت، مقدار سرعت جسم و جهت بردار سرعت جهت حركت است.
مثال: بردار مكان يك جسم متحرك در لحظه t را مشخص مي‌كند.
در مقدار سرعت و جهت ر مشخص كنيد در چه لحظه‌اي در صورت وجود سرعت و شتاب جسم بر هم عمودند.

جهت سرعت

در لحظه شتاب و سرعت بر هم عمودند.
* قاعده زنجيره‌اي:
اگر مكان ذره‌اي باشد كه روي يك مسير در حركت است و اگر با قرار دادن تابعي از بجاي متغيرها را عوض كنيم مكان ذره تابعي از S مي‌شود داريم: